2012年10月自学考试04184《线性代数（经管类）》真题及部分答案

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全国2012年10月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，

|A|表示方阵A 的行列式，r(A)表示矩阵A 的秩。

选择题部分

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --=

A.-1

B.0

C.1

D.2

2.设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且A 2-E =O ，则必有

A.A =E

B.A =-E

C.A =A -1

D.|A |=1

3.A =001010a b c ?? ? ? ???为反对称矩阵，则必有

A.a =b =―1,c =0

B.a =c =―1,b =0

C.a =c =0,b =―1

D.b =c =―1,a =0

4.设向量组1α=（2，0，0）T ，2α=（0，0，―1）T ，则下列向量中可以由1α，2α线性表示的是

A.（―1，―1，―1）T

B.（0，―1，―1）T

C.（―1，―1，0）T

D.（―1，0，―1）T

5.已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r(A T )=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是

A. 1α-2α

B. 1α+2α

C.121α+2α

D. 121α+122α 

7.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=??-+=?的基础解系所含解向量的个数为 A.1

B.2

C.3

D.4

8.若矩阵A 与对角矩阵D =111-?? ?- ? ?-??相似，则A 2= 

A.E

B.A

C.-E

D.2E

9.设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为

A.-9

B.-3

C.3

D.9 

10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=222123121323222x x x x x x x x x +++++的规范形为

A.2212-z z

B. 2212z z + 

C.21z 

 D. 222123z z z ++ 

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.行列式123

111321

的值为_________.

12.设矩阵A =4321?? ???，P =0110?? ???

，则P AP 2_________. 13.设向量α=（1，2，1）T ，β=（-1，-2，-3）T ，则3α-2β_________.

14.若A 为3阶矩阵，且|A |=19

，则|（3A ）-1|_________. 15.设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵， r(B )=1,则分块矩阵E O B B ??

?-??的秩为_________.

16.向量组1α=（k,-2,2）T , 2α=(4,8,-8)T 线性相关，则数k =_________.

17.若线性方程组123233x +2x +3x =1-2x +x =-2(λ+1)x =-λ?????

无解，则数λ=_________.

18.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则|A |=_________.

19.设A 为3阶实对称矩阵，1α=（0，1，1）T ，2α=（1，2，x ）T 分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数x =_________.

20.已知矩阵A =001011112?? ?- ? ?-??

，则对应的二次型f (x 1,x 2,x 3)=_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式D =a b

a b a a b

b a

b a b +++的值. 22.设矩阵A =100210222?? ? ? ?-??,B =112022046?? ? ? ???

,求满足方程AX =B T 的矩阵X . 23.设向量组11234α?? ? ?= ? ???,21104α-?? ? ?= ? ?-??,32463α?? ? ?= ? ???,41211α?? ?- ?= ?- ???

,求该向量组的秩和一个极大线性无关组. 24.求解非齐次线性方程组123412341

234124436x x x x x x x x x x x x +--=??+++=??+--=?.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示) 25.求矩阵A=010001000?? ? ? ???

的全部特征值和特征向量.

26.确定a ,b 的值,使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为―12.

四、证明题(本题6分)

27.设A ,B 均为n 阶(n ≥2)可逆矩阵,证明(AB )*=B *A *.